题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O₁相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

答案

（1）连接O₁G，
设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t）；
设直线EF的方程为y=kx+b，则

kt+b=0 b=2t

，
∴解得

k=-2 b=2t

，
∴y=-2x+2t，
∴直线OB的方程为y=

1

2

x；
∵解方程组

y=-2x+2t y= 1 2 x

，
得

x= 4 5 t y= 2 5 t

，
∴G（

4

5

t，

2

5

t）；
∵O₁是BE的中点，
∴O₁（

4+t

2

，1），
∴O₁G²=（

4+t

2

-

4

5

t）²+（1-

2

5

t）²=

1

4

t²-2t+5，O₁B²=（4-

4+t

2

）²+1²=

1

4

t²-2t+5，
∴O₁G=O₁B，点G在⊙O₁上．

（2）设t秒时FB与⊙O₁相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF²=BE²+BF²，EF²=OE²+OF²，
∴（4-t）²+2²+4²+（2-2t）²=t²+（2t）²，
解得t=2.5．

（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），
设P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-

2

t

y，
∴P（4-

2

t

y，y）．
∵BE为直径，
∴∠BPE=90°．
∵PE²+BP²=BE²
∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，
∴y=

4t

t2+4

，
∴x=

4t2+8

t2+4

，
即P（

4t2+8

t2+4

，

4t

t2+4

），
∴AP²=（4-

4t2+8

t2+4

）²+（

4t

t2+4

）²，
∴AP=

4

t2+4

×

t2+4

，AF=

16+4t2

=2

t2+4

．
∴AP•AF=8，是不会发生变化的．