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题目
题型:不详难度:来源:
如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以


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cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.
(1)当P异于A、C时,请说明PQBC;
(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
答案
(1)∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2cm,
∴AB=BC=2,∠BAC=
1
2
∠DAB,
又∵∠DAB=60°(已知),
∴∠BAC=∠BCA=30°;
如图1,连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=
1
2
AC,
∴OB=
1
2
AB=1(30°角所对的直角边是斜边的一半),
∴OA=


3
(cm),AC=2OA=2


3
(cm),
运动ts后,AP=


3
t,AQ=t

AP
AQ
=
AC
AB
=


3

又∵∠PAQ=∠CAB,
∴△PAQ△CAB,
∴∠APQ=∠ACB(相似三角形的对应角相等),
∴PQBC(同位角相等,两直线平行)…5分

(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC.
在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=
1
2
PC=


3
-


3
2
t

由PM=PQ=AQ=t,即


3
-


3
2
t
=t
解得t=4


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-6,此时⊙P与边BC有一个公共点;

如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形,∴QB=PQ=AQ=t,∴t=1
当4


3
-6<t≤1
时,⊙P与边BC有2个公共点.

如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即2


3
-


3
t=t,∴t=3-


3

∴当1<t≤3-


3
时,⊙P与边BC有一个公共点,
当点P运动到点C,即t=2时,⊙P过点B,此时,⊙P与边BC有一个公共点,
∴当t=4


3
-6或1<t≤3-


3
或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;
当4


3
-6<t≤1时,⊙P与边BC有2个公共点.
核心考点
试题【如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以3cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AD平行于OC,若OA=2,且AD+OC=6,则CD=______.
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如图,AB是⊙O的直径,直线AD与⊙O相切于点A,点C在⊙O着,∠DAC=∠ACD,直线DC与AB的延长线交于点E.AF⊥ED于点F,交⊙O于点G.
(k)求证:DE是⊙O的切线;
(2)已知⊙O的半径是6cm,EC=xcm,求GF的长.
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC边为直径的⊙O交AB于点D,连接OD并延长交CA的延长线于点E,过点D作DF⊥OE交EC于点F.
(1)求证:AF=CF.
(2)若ED=2,sin∠E=
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,求AD的长.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,EC是⊙O的直径,且EC=2,作BC⊥AC于C,使BC=2,过B作⊙O的切线BA交CE的延长线于A,切点为D.
①求证:AD•AB=AO•AC;
②求AE及AD的长.
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如图,AO是△ABC的中线,⊙O与AB边相切于点D.
(1)要使⊙O与AC边也相切,应增加条件______;(任写一个)
(2)说明你(1)中添加的理由.
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