题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切与点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与⊙O相交于点E，连接BC．
（1）求证：△PAD∽△ABC；
（2）若PA=10，AD=6，求AB和PE的长．

答案

（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC；

（2）∵∠PAO=90°，PA=10，AD=6，
∴PD=

PA2-AD2

=8，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC=6，
∴AC=12，
∵△PAD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

AC

，
∴

10

AB

=

8

12

，
∴AB=15，
∴OE=

1

2

AB=

15

2

，
∵OP=

AO2+AP2

=

25

2

，
∴PE=OP-OE=

25

2

-

15

2

=5．