题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:AE•AB=AF•AC;
(2)如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2,或向下平移得图3,此时,AE•AB=AF•AC是否仍成立?若成立,请证明,若不成立,说明理由.
答案
∵AD是圆O的直径,
∴∠AED=90°.
又∵BC切圆O于点D,
∴AD⊥BC,∠ADB=90°.
在Rt△AED和Rt△ADB中,∠EAD=∠DAB,
∴Rt△AED∽Rt△ADB.
∴
AE |
AD |
AD |
AB |
同理连接DF,可证Rt△AFD∽Rt△ADC,AF•AC=AD2
∴AE•AB=AF•AC.
(2)AE•AB=AF•AC仍然成立.
证明:如图2,连接DE,因为BC在上下平移时始终与AD垂直,设垂足为D",则∠AD′B=90°
∵AD是圆O的直径,
∴∠AED=90°
又∵∠D′AB=∠EAD,∠AED=∠AD′B,
∴Rt△AD′B∽Rt△AED
∴
AB |
AD |
AD′ |
AE |
AE•AB=AD′•AD
同理AF•AC=AD′•AD
∴AE•AB=AF•AC
同理可证,当直线BC向下平移与圆O相离如图3时,AE•AB=AF•AC仍然成立.
核心考点
试题【如图1,AD是圆O的直径,BC切圆O于点D,AB、AC与圆O相交于点E、F.(1)求证:AE•AB=AF•AC;(2)如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
求证:CD是⊙O的切线.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)若AE:EB=2:1,PB=6,求弦CD的长.
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