题目
题型:不详难度:来源:
5 |
(1)求切线BC的解析式;
(2)若点P是第一象限内⊙A上的一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点G的坐标;
(3)向左移动⊙A(圆心A始终保持在x轴上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点A,使△AEF是直角三角形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(
|
∵BC为⊙O的切线,
∴AC⊥BC,
在Rt△ABC中,(OB+OA)2=BC2+AC2,即(OB+1)2=BC2+5①,
在Rt△OBC中,BC2=OB2+OC2,即OBC2=OB2+4②,
①②联立得,OB=4,
∴点B的坐标为(-4,0)
∴直线BC的解析式为y=
1 |
2 |
(2)如图1:
解法一:过G点作x轴垂线,垂足为H,连接AG,设G(x0,y0),
在Rt△ACG中,∠AGC=60°,AC=
5 |
| ||
3 |
又∵OB=4,
∴BC=
OB2+OC2 |
5 |
∵OC∥GH,
∴
OH |
BO |
CG |
BC |
2
| ||
3 |
2
| ||
3 |
又∵点G在直线BC上,
∴y0=
1 |
2 |
2
| ||
3 |
=
| ||
3 |
∴G(
2
| ||
3 |
| ||
3 |
解法二:过G点作y轴垂线,垂足为H,连接AG
在Rt△ACG中,∠AGC=60°,AC=
5 |
| ||
3 |
由△BCO∽△GCH,得
CH |
GH |
CO |
BO |
1 |
2 |
即GH=2CH,
在Rt△CHG中,CG=
| ||
3 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
∴G(
2
| ||
3 |
| ||
3 |
(3)方法一
如图2:
在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形.
若△AEF为直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF为等腰三角形,
∴∠AEF=∠AFE≠90°,
∴∠EAF=90°,
过A作AM⊥BC于M,
在Rt△AEF中,EF=
AE2+AF2 |
(
|
10 |
AM=
1 |
2 |
1 |
2 |
10 |
证出△BOC∽△BMA得,
OC |
AM |
BC |
AB |
而BC=
OC2+OB2 |
22+42 |
5 |
5
| ||
2 |
∴OA=4-
5
| ||
2 |
∴A(-4+
5
| ||
2 |
当圆心A在点B的左侧时,设圆心为A′,
过A′作A′M′⊥BC于M′,可得△A′M′B′≌△AMB,
∴A′B=AB=
5
| ||
2 |
∴OA′=OB+A′B=4+
5
| ||
2 |
∴A′(-4-
5
| ||
2 |
∴A(-4+
5
| ||
2 |
5
| ||
2 |
方法二:
如图3,
在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形
若△AEF为直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF为等腰三角形
∴∠AEF=∠AFE≠90°
∴∠EAF=90°(11分)
过F作FM⊥x轴于M,EN⊥x轴于N,EH⊥MF于H
设AN=x,EN=y
由△AEN≌△FAM
可得AM=y,FM=x
FH=x-y
EH=x+y,由
FH |
EH |
OC |
OB |
2 |
4 |
1 |
2 |
x-y |
x+y |
1 |
2 |
∴x=3y
在Rt△AEN中,
x2+y2=(
5 |
x2+y2=5,
解得
|
又∵
EN |
BN |
OC |
OB |
2 |
4 |
1 |
2 |
∴BN=2y,BN=
2 |
∴AB=
3
| ||
2 |
2 |
5
| ||
2 |
∴OA=4-
5
| ||
2 |
∴A(-4+
5
| ||
2 |
以下同解法一,得A′(-4-
5
| ||
2 |
核心考点
试题【已知:如图,⊙A与y轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),⊙A的半径为5,过C作⊙A的切线交x轴于点B.(1)求切线BC的解析式;(2)若点P是第一象限内】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求半圆O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
(1)求证:AE•AB=AF•AC;
(2)如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2,或向下平移得图3,此时,AE•AB=AF•AC是否仍成立?若成立,请证明,若不成立,说明理由.
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