题目

题型：期中题难度：来源：

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线PF交AC于点F，交AB于点E，　　
（1）求证：AE=AF；　
（2）若PB∶PA=1∶2，M是弧BC上的一点，AM交BC于D且PD=DC，试确定M点在弧BC上的位置，并证明你的结论。

答案

解：（1）∵PA是切线，A是切点，　
∴∠PAB=∠C，
又PF是∠APC的平分线，　　
∴∠1=∠2，∠AEF=∠1+∠PAB，∠AFP=∠C+∠2，
∴∠AEF=∠AFP，　　
∴AE=AF。
（2）设PB=k，则PA=2k（k＞0），
∴PA²=PB·PC，4k²=k·PC，PC=4k，
∵PD=DC=2k，　　
在△APD中，PA=PD，∠1=∠2，
∴PF⊥AM；　
在△AEF中，由（1）得AE=AF，
∴∠BAM=∠MAC，
∴=，即点M是的中点。