题目

题型：不详难度：来源：

如图，以BC为直径的圆0交∆CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D，AD交BM于点N,ME⊥BC于点E，AB² =AF．AC.
小题1:求△ANM≅△ENM;
小题2:求证：FB是圆O的切线
小题3:证明四边形AMEN是菱形．

答案

小题1:证明：因为BC是圆0的直径，
所以：∠BAC=90⁰                                   （1分）
又EM⊥BC，BM平分∠ABC，
所以：AM="ME." ∠AMN=∠EMN
又MN=MN
所以：∆ANM≅∆ENM
小题2:因为：AB²=AF∙AC,

又∠ABF=∠C
所以：∆ABF~∆ACB                                                 (4分)
所以：∠ABF=∠C
又∠FBC="∠ABC+∠FBA=" 90⁰，
．’．FB是圆O的切线
小题3:解：由(1)得AN="EN,AM=EM," ∠AMN=∠EMN
又：AN//ME
所以：∠ANM=∠EMN                                              (7分)
所以：∠AMN=∠ANM                                        (8分)
所以：AN=AM
AM=ME+EN=AN
所以：四边形AMEN是菱形                                   （10分）

解析

（1）利用角平分线的性质定理，可以得出AM=ME，∠AMN=∠EMN，再利用SAS可证出：△ANM≌△ENM
（2）利用相似三角形的判定可证出△ABF∽△ACB，从而得出∠ABF=∠C，那么可以得到∠CBF=90°
（3）利用（1）中的结论先证出∠AMN=∠ANM，可以得到AM=ME=EN=AN，从而得出四边形AMEN是菱形，再求出△BND∽△BME，利用比例线段可求出ME的长，再利用菱形的面积公式可计算出菱形的面积．