题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知AB=AC，∠BAC=120º，在BC上取一点O，以O为圆心OB为半径作圆，
①且⊙O过A点，过A作AD∥BC交⊙O于D，
求证：（1）AC是⊙O的切线；
（2）四边形BOAD是菱形。

答案

证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=120º，∴∠ABC=∠C=30º。
∵OB=OA，∴∠BAO=∠ABC=30º。∴∠CAO=120º-30º=90º。
∴ OA⊥AC。
∵OA为⊙O的半径，∴ AC是⊙O的切线。
（2）连接OD，

∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=30º。
∴∠DAO=60º。
∵OA=OD，∴△OAD为等边三角形。
∴OB=OA=AD，
又∵AD∥BC，∴ADBO为平行四边形。
且OA=OB，∴四边形BOAD是菱形。

解析

切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，菱形的判定。
【分析】（1）求证AC是⊙O的切线，则证OA⊥AC，很显然要运用圆的切线的判定定理。
（2）要证四边形BOAD是菱形，先证BOAD为平行四边形，再证一组邻边相等。