题目
题型:不详难度:来源:
(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;
(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由.
问题解决:
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且b>a,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?如若存在,求出BQ的长;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)圆内两条互相垂直的直径即达到目的;(2)连接AC、BD相交于点O,作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点,则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分,可应用△AOP≌△EOB得出结论;(3)把原图补充成菱形,应用菱形的性质求解.
试题解析:(1)如图①所示:
(2)如图②,连接AC、BD相交于点O,作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点,过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点,则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.
理由如下:
∵点O是正方形ABCD对角线的交点,∴点O是正方形ABCD的对称中心.
∴AP=CQ,EB=DF.
在△AOP和△EOB中,∵∠AOP=90°-∠AOE,∠BOE=90°-∠AOE,∴∠AOP=∠BOE.
∵OA=OB,∠OAP=∠EBO=45°,∴△AOP≌△EOB(ASA).∴AP="BE=DF=CQ" .
∴AE=BQ=CF=PD.
设点O到正方形ABCD一边的距离为.
∴.
∴.
∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分.
(3)存在. 当BQ=CD=时,PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下:
如图③,延长BA至点E,使AE=,延长CD至点F,使DF=,连接EF.
∴BE∥CF,BE="CF." ∴四边形BCFE为平行四边形.
∵BC=BE=+,∴平行四边形DBFE为菱形.
连接BF交AD于点M,则△MAB≌△MDF.
∴AM=DM,即点P、M重合.
∴点P是菱形EBCF对角线的交点.
在BC上截取BQ=CD=,则CQ=AB=.
设点P到菱形EBCF一边的距离为,
∴.
∴当BQ=时,直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.
核心考点
试题【问题探究:(1)请在图①中作出两条直线,使它们将圆面四等分;(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)使它们】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
A.1 B.2 C.3 D.4
A.OC//AE | B.EC=BC | C.∠DAE=∠ABE | D.AC⊥OE |
A.1个 | B.2个 | C.3个 | D.4个 |
A.BD⊥AC B.AC2=2AB·AE
C.BC=2AD D.△ADE是等腰三角形
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