题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF。
（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；
（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积。

答案

解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，
∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α，
∵四边形AEFG是菱形，
∴AD=AB，
∴AG=AE，
∴△AGD≌△AEG； （2）如图（1），当α=60°时，AE与AD重合，
作DH⊥CF于H，
由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，
∴∠CDH=∠CDF=60°，CH=CF，
在Rt△CDH中，
∵CH=DCsin60°=5×，
∴CF=2CH=5；

（1）

（3）如图（2），当∠CEF=90°时，
延长CE交AG于M，连接AC，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∵∠CEF=90°，
∴∠GME=90°，
∴∠AME=90°，
在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，
∴AM=AEcos60°=，EM=AEsin60°=，
在Rt△AMC中，易求AC=5，
∴，
∴EC=MC-ME=，
∴S_△CEF=·EC·EF=。

（2）