题目

题型：宝山区一模难度：来源：

如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=1．
（1）若BC=3，AD=AB，求∠A的余弦值；
（2）连接BD，若△ADB与△BCD相似，设cotA=x，AB=y，求y关于x的函数关系式．

答案

（1）过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
设AE=x，则AD=x+1．（11分）
根据题意，在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²．
∴x²+9=（x+1）²，（1分）
解得x=4．（1分）
即AE=4，AD=5，
∴cos∠A=

AE

AD

=

4

5

；（1分）

（2）∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD

，
∵∠ABC=90°，△ADB∽△BCD，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°．（1分）
∴∠DBC=∠A，
在△BCD中，由CD=1，cot∠DBC=cotA=x得，BC=x，（1分）
从而DB=

x2+1

，
由△ABD∽△BDC得，

AB

BD

=

BD

DC

，
即

y

BD

=

BD

1

．
∴y=x²+1．