题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

已知：AB是半圆O 的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。
（1）求证：CD是半圆O的切线(图①)；
（2）作EF⊥AB于点F(图②)，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线CD于点N，当NA与半圆O相切时(图③)，求∠EOC的正切值。

答案

（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径
               ∵OC为半圆M的直径
              ∴∠CDO=90°
             ∴CD是半圆O的切线；
（2） 猜想：。 
   如图，连结OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG//OD。
     ∵CE平分∠DCB ∴∠OCE=∠KCE
       ∵EF⊥AB     ∴EG=EF
         ∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点
        ∴∠CEO=∠CEK=90°
          ∵CE为公共边
          ∴△COE≌△CKE 
       ∴OE=KE     ∵EG//OD
       ∴DG=GK  ∴ ；
（3）如图3，延长OE交CD于点K
      设OF=x，EF=y，则OA=2y
      ∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A 
    ∴四边形AFEN是矩形
      ∴
     同（2），得E是OK的中点
      ∴N是CK的中点 
    
    
    ∴Rt△CEF∽Rt△EOF 
    ∴ 即
     解得
  
 
  ∴tan∠EOC=3

            图1

            图2

              图3