题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD
（1）填空：点C的坐标是（____，____），点D的坐标是（____，____）；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（-2，0）；
（2）由（1）可知CD，BC=1，
又∠1=∠5，∠4=∠3，
∴△BMC∽△DOC，
∴即，
∴BM=；
（3）存在；
存在分两种情况讨论：
①以BM为腰时，
∵BM=，又点P在y轴上，且BP=BM，
此时满足条件的点P有两个，它们是P₁（0，2+）、P₂（0，2-），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∵∠BMC=90°，
则△BME∽△BCM，
∴，
∴，
又∵BM=BP，
∴PE=BE=，
∴BP=，
∴OP=2-=，
此时满足条件的点P有一个，它是P₃（0，），
②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，
由（2）得∠BMC=90°，
∴PF∥CM，
∵F是BM的中点，
∴BP=BC=，
∴OP=，
此时满足条件的点P有一个，它是P₄（0，）
综上所述，符合条件的点P有四个，它们是：P₁（0，2+）、P₂（0，2-）、P₃（0，）、P₄（0，）。