题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q。
（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；
（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围。

答案

解：（1）存在点P。假设存在一点P，使点Q与点C重合，如图所示，
设AP的长为x，则BP=10-x，
在Rt△APD中，DP²=AD²+AP²，即DP²=4²+x²，
在Rt△PBC中，PC²=BC²+PB²，即DP²=4²+（10-x）²，
在Rt△PCD中，CD²=DP²+PC²，即10²=4²+x²+4²+（10-x）²，
解得x=2或8，
故当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合，此时AP=2或8；（2）连接AC，设BP=x，则AP=m-x，
∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC
∴，即①，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠BPQ=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，∠BPQ+∠PQB=90°，
∴∠APD=∠BQP，
∴△APD∽△BQP，
∴，即②，
①②联立得，BQ=；（3）连接DQ，设AP=x，由（1）知
在Rt△APD中，DP²=AD²+AP²，即DP²=4²+x²，
在Rt△PBC中，PC²=BC²+PB²，即DP²=4²+（m-x）²。
若△PQD为等腰三角形，则4²+x²=4²+（m-x）²，
解得，
∵BQ=，
∴CQ=4-，
∴S_{四边形DPQC}=S_△DPQ+S_△DCQ=。