题目

题型：山西省中考真题难度：来源：

在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3，分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图1，作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，
∴OH=CB=3，
∴AH=OA-OH=6-3=3，
在Rt△ABH中，BH=，
∴点B的坐标为（3，6）。
（2）如图1，作EG⊥x轴于点G，则EG//BH
∴△OEG∽△OBH
∴
又∵OE=2EB，
∴
∴
∴OG=2，EG=4，
∴点E的坐标为（2，4）。
又∵点D的坐标为（0，5），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则
解得，b=5
∴直线DE的解析式为：。
（3）答：存在
①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形。
作MP⊥y轴于点P，
则MP//x轴，
∴△MPD∽△FOD，
∴
又∵当y=0时，
解得x=10。
∴F点的坐标为（10，0），
∴OF=10。
在Rt△ODF中，
∴
∴
∴点M的坐标为（-2，5+）
∴点N的坐标为（-2，）②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形。
延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴。
∵点M在直线y=-x+5上，
∴设M点坐标为（a，-a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，
∴a²+（-a+5）²=5²，解得a₁=4，a₂=0（舍去），
∴点M的坐标为（4，3），
∴点N的坐标为（4，8）。 ③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形。
连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=OP=，
∴-x_M+5=，
∴x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，
∴点N的坐标为（-5，）。
综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N₁（-2，），N₂（4，8），N₃（-5，）。