题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE=3，BF=2，以EF、FG为邻边作□EFGH，设AG=x。
（1）直接写出点H到AD的距离；
（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值；
（3）当x为何值时，△EHC是等腰三角形。

答案

解：（1）点H到AD的距离为2；
（2）∵△HGD中GD边上的高为2，
①当△HDG面积取大值时，底边GD最大，此时点G与点A重合，如图1：
∴GD=AD=14，
∴S_△HGD的最大值是14；
②△HGD面积取得最小值时，底边GD最小，此时点H在CD边上，如图2：
过C作CP⊥AD于P，DP=AD-AP=AD-BC=6，
又∵CP=AB=6，
∴∠D=45°，
过点H作HM⊥AD于M，则MD=MH=2，
显然△HMG≌△FBE，
∴GM=BE=3，
∴GD=GM+MD=5，
∴S_△HGD的最小值是5；
（3）过H作HN⊥BC于N，如图3：
显然Rt△FAG≌Rt△HNE，
∵EC=BC-BE=5HN=FA=AB-FB=4，EN=AG=x，
∵△EHC是等腰三角形，
①当EH=EC时EH=5，HN=4，
∴EN=3即x=3，
②当HC=EC时，EH=5，HN=4，
∴NC=3，EN=EC-NC=2，即x=2，
③当EH=HC时，EN=NC=EC=2.5，
综上所述，当x=2或2.5或3时，△EHC是等腰三角形。