题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

已知：△ABC是任意三角形。
（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A。
（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂是边BC的三等分点，你认为∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正确？请说明你的理由；
（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是边BC的2010等分点，则∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=（    ）。

答案

解：（1）∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM
∴四边形AMPN是平行四边形
∴∠MPN=∠A。（2）∠MP₁N+∠MP₂N=∠A正确
如图所示，连接MN
∵，∠A=∠A
∴△AMN∽△ABC
∴∠AMN=∠B，
∴MN∥BC，
∵点P₁、P₂是边BC的三等分点，
∴MN与BP₁平行且相等，MN与P₁P₂平行且相等，MN与P₂C平行且相等，
∴四边形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四边形，
∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，MP₂∥AC
∴∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，
∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A。（3）∠A。