题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D。
（1）求证：△APC∽△COD；
（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形。

答案

解：（1）∵是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，
∠PAC=∠OCD=90°，显然△DOA≌△DOC,
∴∠DOA=∠DOC,
∴∠APC=∠COD,
∴△APC∽△COD；
（2）由△APC∽△COD，得，
∴，
∴；
（3）若是一个等边三角形，则∠ADC=60°，∠ODC=30°，
于是OD=2OC，可得y=2，∴x=1，
故，当x=1时，△ACD是一个等边三角形。