题目

题型：吉林省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为（4，0），顶点G的坐标为（0，2），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A。
（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；
（2）求图象经过点A的反比例函数的解析式；
（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式；
（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG的对称中心，并说明理由。

答案

解：（1）△OGA∽△OMN；
理由：由已知得：
∠OGA=∠M=90°，∠GOA=∠MON，
∴△OGA∽△OMN；
（2）由（1）得，
∴，解得AG=1，
设反比例函数为，把A（1，2）代入，得k=2，
∴过点A的反比例函数的解析式为；
（3）∵点B的横坐标为4，把x=4代入中得，故B（4，），
设直线AB的解析式为y=mx+n，把A（1，2）、B代入，得
，解得，
∴直线AB的解析式为；
（4）设矩形OEFG的对称中心为Q，则点Q坐标为（2，1），
把x=2代入，得y=1，
∴反比例函数的图象经过矩形OEFG的对称中心。