题目

题型：不详难度：来源：

如图，点0是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，OC=CD,
且∠DOC=60°连接OD.
（1）求证：△COD是等边三角形
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形

答案

（1）证明略。
（2）△AOD是直角三角形
（3）α=140°

解析

（1）∵OC="CD," ∠OCD=60°                                
∴△COD是等边三角形                                  ……2分
（2）△AOD是直角三角形
∵△ABC是等边三角形
∴AC="BC, " ∠ACB=60°
∵∠ACB-∠ACO=∠ECO-∠ACO
即∠BCO=∠DCA
在⊿BOC和⊿ADC中

⊿BOC≌⊿ADC (SAS)                              ……4分
∴∠BOC=∠ADC="α=150°       "
又∵△COD是等边三角形
∴∠ODC=60°
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°
△AOD是直角三角形                                 ……6分
（3）要使得△AOD是等腰三角形
当AD=AO时，∠AOD=∠ADO，
则有∠AOC=∠ADC，
∴2α+110°=360°，α="125°                      "          ……8分
当OA=OD时，∠AOD=180°-2（α-60°），   
则110°+α+60°+180-2（α-60°）="360°      " α="110°        " ……10分
当DA=DO时，∠AOD=180°-（α-60°）/2，
则110°+α+60°+180°-（α-60°）/2=360°
α="140°         "                                       ……12分