题目

题型：不详难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠A=30⁰，∠B=90⁰，BC=6，Rt△DEF中，∠FDE=90⁰，DE=DF=4，Rt△DEF沿AC从点A向点C。
（1）  当AD=_____时，FC//AB;
（2）  当AD=_____时，以线段AD、FC和BC为边的三角形是直角三角形；
（3）  是否存在某一位置，使∠FCA=15⁰，若存在，求出AD的长，若不存在，试说明理由。

答案

（1）12－4，（2），（3）不存在.

解析

（1）如图，若FC//AB，则∠FCD＝∠A＝30⁰，∴，∴CD＝4，


∴AD＝AC－CD=12－4
（2）设AD＝x，则CD＝12－ｘ，在Rt△FDC中，
CF²＝CD²＋FD²，即CF²=(12－x) ²＋4²＝160－24x＋x²
要证以线段AD、FC和BC为边的三角形是直角三角形，            
只需证CF²±ＡD²＝BC². 若CF²＋ＡD²＝BC²，即
160－24x＋x²＋x²＝36，所以x²－12x＋36=0，此方程无解；
若CF²－ＡD²＝BC²，即160－24x＋x²－x²＝36，ｘ＝．　　　
（３）如图，作FC的中垂线交AC于点G，连接FG，则FG=CG，若∠FCA=15⁰，则∠CFG=15⁰，所以∠FGD=30⁰，
所以CG =FG=2FD=8，且， 即DG＝4，
AD=AC－CG－DG=12－８－4＝４－4<0，所以，不存在.