题目

题型：不详难度：来源：

（14分）在研究勾股定理时，同学们都见到过图1，∠，四边形、、都是正方形.
⑴连结、得到图2，则△≌△，此时两个三角形全等的判定依据是
 ▲ ；过作⊥于，交于，则_△；同理_△，得，然后可证得勾股定理.
⑵在图1中，若将三个正方形“退化”为正三角形，得到图3，同学们可以探究△、△、△的面积关系是     ▲   .
⑶为了研究问题的需要，将图1中的△也进行“退化”为锐角△，并擦去正方形得图4，由两边向三角形外作正△、正△，△的外接圆与交于点，此时、、共线，从△内一点到、、三个顶点的距离之和最小的点恰为点（已经被他人证明）.设＝3，＝4，.求的值.

答案

（1）（2）.⑶

解析

（1） 
（2）.
（3）在上截取＝，连.
∵为正三角形，
＝＝＝3.
∴∠60°, ∠60°.
∴为正三角形
∴＝＝
∴∠60°.
∴∠180°－∠180°－60°＝120°.
∠∠＋∠60°＋60°＝120°.
∴△≌△
∴＝
∴＋＋＝＋＋＝AD
在△中，＝3，＝4，∠＝∠＋∠＝120°.
可求得：＝.
即＋＋＝