题目

题型：不详难度：来源：

在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为       ．

答案

解析

当F、B在AC的同侧时。
　　分别过C、F作AB的垂线，垂足分别为D、E。再过F作FH⊥BC交BC于H。
　　∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°，　∴AC＝BC＝1，　∴AB＝。
　　∵AC⊥BC、CD⊥AB，　∴AD＝BD，　∴CD＝AD＝AB/2＝、∠ABC＝45°。
∵CF∥AB、CD⊥AB、FE⊥AB，　∴FE＝CD＝，又AF＝AB＝，　∴FE＝AF/2。
　　由FE＝AF/2、FE⊥AE，得：∠FAE＝30°，　∴AE＝√3FE＝。
　　∵CF∥DE、CD⊥DE、FE⊥DE，　∴CDEF是矩形，
　　∴CF＝DE＝AE－AD＝－。
∵CF∥DB，　∴∠FCB＝∠ABC＝45°。
　　∵∠FCH＝45°、FH⊥CH，　∴FH＝CF/√2＝（－）/＝。
　　∴此时F到BC的距离为 。
、当F、B在AC的两侧时。
　　过A作AM⊥FC交FC于M，再过F作FN⊥BC交BC的延长线于N。
　　∵△ABC是等腰直角三角形、且∠ACB＝90°，　∴∠BAC＝45°。
　　∵FC∥AB，　∴∠ACM＝∠BAC＝45°，又AM⊥CM，　∴CM＝AM＝AC/＝1/。
　　∵AF＝AB＝、AM＝1/＝、AM⊥FM，　∴∠AFM＝30°，
∴FM＝AM＝，　∴CF＝FM＋CM＝＋。
　　显然有：∠FCN＝180°－∠ACB－∠ACM＝180°－90°－45°＝45°，又FN⊥CN，
　　∴FN＝CF/＝（＋）/＝。
　　∴此时F到BC的距离为 。
综上所述，得：F到BC的距离是 ，或