题目

题型：不详难度：来源：

如图，△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。（0º＜α＜90º）得到△A₁B₁C₁，连结BB₁.设CB₁交AB于D，A₁B₁分别交AB、AC于E、F。

（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）当△BB₁D是等腰三角形时，求α；
（3）当α＝60º时，求BD的长。

答案

解：（1）全等的三角形有：
等。（只需写一个即可）
以证为例：
证明：

     
（2）在△CBB₁中，∵CB=CB₁，
又△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°      
①若，则∠B₁DB=∠B₁BD，∵∠B₁DB=45°+α

（舍去）
②，即BD≠B₁D     
③若BB₁=BD，则，即  
由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°      
（3）作DG⊥BC于G，设CG=x
在Rt△CDG中，
在Rt△DGB中，
       
   

解析

（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋转的意义可证∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．
（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．
（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长．