题目

题型：不详难度：来源：

等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E。
（1）如图（1），若A(0，1)，B(2，0)，求C点的坐标；
（2）如图（2）， 当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由。

答案

（1）C(－1，－1)；（2）见解析；（3）BD="2(OA" +OD)

解析

试题分析：（1）过点C作CF⊥y轴于点F，则△ACF≌△ABO(AAS)，即得CF=OA=1，AF=OB=2，
从而求得结果；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD(ASA)，即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G， 由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G，从而得到结论；
(3)在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD="AH," ∠ADH=∠AHD，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，从而证得△ACE≌△BAH(AAS)，即可得到   AE=BH=2OA，从而得到结果.
（1）如图，过点C作CF⊥y轴于点F

则△ACF≌△ABO(AAS)，
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C(－1，－1)；
（2）如图，过点C作CG⊥AC交y轴于点G

则△ACG≌△ABD(ASA)
∴CG=AD=CD，∠ADB="∠G"
∵∠DCE=∠GCE=45°
∴△DCE≌△GCE(SAS)
∴∠CDE=∠G
∴∠ADB=∠CDE；  
(3) 如图，在OB上截取OH=OD，连接AH

由对称性得AD="AH," ∠ADH=∠AHD
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO
∴∠AEC=∠BHA    
又∵AB=AC  ∠CAE=∠ABH
∴△ACE≌△BAH(AAS)   
∴AE=BH=2OA        
∵DH=2OD
∴BD="2(OA" +OD)
点评：解答本题的关键是正确作出辅助线，同时熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活选择恰当的三角形进行分析.