题目

题型：不详难度：来源：

如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（），四边形BCDP的面积为y cm²．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

答案

证明：（1）∵，，∴DE垂直平分AC，
∴,∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF．
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．
∴△DCF∽△ABC．
∴，即．
∴AB·AF＝CB·CD．
（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴，∴．
∴（）．
②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小．
此时DP＝DE，PB+PA＝AB．
由（1），，，得△DAF∽△ABC．
EF∥BC，得，EF=．
∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．
∴AD＝10．
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，
∴DF＝8．
∴．
∴当时，△PBC的周长最小，此时．

解析

（1）根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，从而利用有两对角对应相等的两三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可推出AB•AF=CB•CD；
（2）①根据勾股定理求出AC的长，从而求得CF的长，根据题意四边形BCDP是梯形，根据梯形的面积公式即可得到求y关于x的函数关系式；②根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小，从而利用勾股定理分别求得AC、AF、AE、DE的长，从而就求得了x的值．