题目

题型：不详难度：来源：

如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC—CB—BA做匀速运动.

（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s. 经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求的值.

答案

（1）48cm；（2）直角三角形；（3）4或12或24

解析

试题分析：（1）根据菱形的性质结合可得△ABD是等边三角形，即可求得结果；
（2）先分别求得12秒后点P和点Q到达的位置，连结MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形，根据等边三角形即可得到结果；
（3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3cm，分当点Q在NB上时，当点Q在BC上时，当点Q与点C重合时，三种情况，结合菱形的性质进行分析即可.
（1）∵四边形ABCD是菱形
∴AB="BC=CD=AD=48"
又∵
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AB=48
∴BD的长为48cm；
（2）如图1，12秒后，点P走过的路程为8×12=96
∴12秒后点P到达点D（M）
又∵12秒后，点Q走过的路程为10×12=120
∴12秒后点Q到达AB的中点N
连结MN，由（1）知△ABD（M）是等边三角形
∴MN⊥AB于点N
∴
∴△AMN是直角三角形；
（3）依题意得，3秒时点P走过的路程为24cm，点Q走过的路程为3cm
∴点E是BD的中点
∴DE=BE=24
当点Q在NB上时（如图1），

∴
∵点E是BD的中点
若EF₁⊥DB，则点F₁与点A重合，这种情况不成立
∴EF₁⊥AB时，∠EF₁B=∠ANM = 90°
由（1）知∠ABD =∠A = 60°
∴△EF₁B∽△MAN
∴
∴
∴，
如图2，由菱形的轴对称性，当点Q在BC上时，

∴点Q走过的路程为36cm
∴
如图3，当点Q与点C重合时，即点F与点C重合

由（1）知，△BCD是等边三角形
∴EF₃⊥BD于点E，∠EBF₃=∠A=60°
∴△F₃EB∽△MNA
此时BF₃=48
∴点Q走过的路程为72cm
∴
综上所述，若△BEF∽△ANM ，则的值为4cm/s或12cm/s或24cm/s.
点评：解答本题的关键是熟练掌握菱形的四条边均相等；相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.