题目

题型：不详难度：来源：

如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90⁰，AB=10， BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F.现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A₁；AD的中点E的对应点记为E₁.若△E₁FA₁∽△E₁BF，则AD=       .

答案

3.2。

解析

∵∠ACB=90⁰，AB=10，BC=6，∴。
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A₁，点E的对应点为E₁，
∴AE=DE=DE₁=A₁E₁=x。
∵DF⊥AB，∠ACB=90⁰，∠A=∠A，∴△ABC∽△AFD。
∴AD：AC =DF：BC ，即2x：8 =DF：6 ，解得DF=1.5x。
在Rt△DE₁F中，E₁F²= DF²+DE₁² =" 3.25" x ²，
又∵BE₁=AB－AE₁=10－3x，△E₁FA₁∽△E₁BF，∴E₁F:A₁E₁ =BE₁ :E₁F ，即E₁F²=A₁E₁•BE₁。
∴，解得x="1.6" 或x=0（舍去）。
∴AD的长为2×1.6 =3.2。