题目
题型:不详难度:来源:
(1)在整个运动过程中,设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围;
(2)当点D在线段AB上时,连接AQ、AP,是否存在这样的t,使得△APQ成为等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由;
(3)当t=4秒时,以PQ为斜边在PQ右侧作等腰直角三角形PQF,将四边形PEQF绕点P旋转,PE与线段AB相交于点M,PF与线段AC相交于点N.试判断在这一旋转过程中,四边形PMAN的面积是否发生变化?若发生变化,求出四边形PMAN的面积y与PM的长x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围;若不发生变化,求出此定值.
答案
解析
试题分析:(1)当PQ过A时求出t=4,当E在AB上时求出t=,当P到C点时t=8,即分为三种情况:根据三角形面积公式求出当0<t≤4时,S=t2,当4<t≤时,S=-t2+8t-16,当<t<8时,S= t2-12t+48;
(2)存在,当点D在线段AB上时,求出QD=PD=t,PD=2t,过点A作AH⊥BC于点H,PH=BH-BP=4-t,在Rt△APH中求出AP=,
(ⅰ)若AP=PQ,则有 ,
(ⅱ)若AQ=PQ,过点Q作QG⊥AP于点G,根据△PGQ∽△AHP求出PG=,若AQ=PQ,得出.
(ⅲ)若AP=AQ,过点A作AT⊥PQ于点T,得出4=×2t,求出方程的解即可;
(3)四边形PMAN的面积不发生变化,连接AP,此时t=4秒,求出S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=8.
试题解析:(1)当0<t≤4时,S=t2,当4<t≤时,S=-t2+8t-16,当<t<8时,S=t2-12t+48;(2)存在,理由如下:
当点D在线段AB上时,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=45°.
∵PD⊥BC,
∴∠BPD=90°,
∴∠BDP=45°,
∴PD=BP=t,
∴QD=PD=t,
∴PQ=QD+PD=2t.
过点A作AH⊥BC于点H,
∵AB=AC,
∴BH=CH=BC=4,AH=BH=4,
∴PH=BH-BP=4-t,
在Rt△APH中,AP=;
(ⅰ)若AP=PQ,则有.
解得:,(不合题意,舍去);
(ⅱ)若AQ=PQ,过点Q作QG⊥AP于点G,如图(1),
∵∠BPQ=∠BHA=90°,
∴PQ∥AH.
∴∠APQ=∠PAH.
∵QG⊥AP,
∴∠PGQ=90°,
∴∠PGQ=∠AHP=90°,
∴△PGQ∽△AHP,
∴,即,
∴,
若AQ=PQ,由于QG⊥AP,则有AG=PG,即PG=AP,
即.
解得:t1=12-4,t2=12+4(不合题意,舍去);
(ⅲ)若AP=AQ,过点A作AT⊥PQ于点T,如图(2),
易知四边形AHPT是矩形,故PT=AH=4.
若AP=AQ,由于AT⊥PQ,则有QT=PT,即PT=PQ,
即4=×2t.解得t=4.
当t=4时,A、P、Q三点共线,△APQ不存在,故t=4舍去.
综上所述,存在这样的t,使得△APQ成为等腰三角形,即秒或t2=(12-4)秒;
(3)四边形PMAN的面积不发生变化.理由如下:
∵等腰直角三角形PQE,
∴∠EPQ=45°,
∵等腰直角三角形PQF,
∴∠FPQ=45°.
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°,
连接AP,如图(3),
∵此时t=4秒,
∴BP=4×1=4=BC,
∴点P为BC的中点.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AP⊥BC,AP=BC=CP=BP=4,∠BAP=∠CAP=∠BAC=45°,
∴∠APC=90°,∠C=45°,
∴∠C=∠BAP=45°,
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°,
∠EPF=∠APM+∠APN=90°,
∴∠CPN=∠APM,
∴△CPN≌△APM,
∴S△CPN=S△APM,
∴S四边形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=×4×4=8.
∴四边形PMAN的面积不发生变化,此定值为8.
考点: 相似形综合题.
核心考点
试题【如图,在Rt△ABC中,AB=AC=4.一动点P从点B出发,沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点C即停止.在整个运动过程中,过点P作PD⊥BC与R】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.
(1)当t= s时,四边形EBFB′为正方形;
(2)若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;
(3)是否存在实数t,使得点B′与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,则S1 S2+S3(用“>”、“=”、“<”填空);
(2)写出如图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.
(1)求AE的长; (2)求ΔCEF的周长和面积.
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