题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则新坐标（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

答案

解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），
则OB=6，OA=8，
∴AB===10．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，
∴当t=秒时，PQ∥BO．
（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴，即，
解得PD=6﹣t．S=AQPD=×2t×（6﹣t）=6t﹣t²=﹣（t﹣）²+5，
∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣（t﹣）²+5（0＜t＜），
当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图②所示，当S取最大值时，t=，∴PD=6﹣t=3，
∴PD=BO，
又PD∥BO，
∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，
∴P（4，3）．又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）．