题目

题型：江苏月考题难度：来源：

如图所示，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻使a沿导轨向上做速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也做匀速运动。已知d=1 m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5 T，θ=30°，g取10 m/s²，不计两导体棒间的相互作用力。
(1)为使导体棒b能沿导轨向下运动，a的速度v不能超过多大？
(2)若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v₁=2 m/s的速度沿导轨向上匀速运动，试导出F与b 的速率v₂的函数关系式并求出v₂的最大值；
(3)在(2)中，当t=2 s时，b的速度达到5.06 m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2 J，求该2s内力F做的功（本小题结果保留三位有效数字）。

答案

解：(1)设a的速度为v₁，由于b初态速度为零，则 ①
对b： ②
F_A＜mgsinθ ③
将①②式代入③式得v₁＜10 m/s ④
(2)设a的速度为v₁，b的速度为v₂，回路电流为I
则 ⑤
对a：mgsinθ+F_A=F，即 ⑥
代入数据得
设b的最大速度为v_m，则有
代入数据得v_m=8 m/s
(3)对b：mgsinθ-F_A=ma，
取任意无限小△t时间
代入数据并求和得，8t-x₂=2v₂
将t=2 s，v₂=5.06 m/s代入上式得x₂=5.88m
a的位移x₁=v₁t=2×2 m=4 m
由功能关系知
代入数据得W_F=14.9 J