如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。（1）求证： BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC= - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。（1）求证： BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长。

答案

核心考点

试题【如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D。（1）求证： BC是⊙O切线；（2）若BD=5，DC=】；主要考察你对勾股定理等知识点的理解。[详细]

举一反三

（1）证明：如图1，连接OD
                 ∵ OA=OD，AD平分∠BAC。
                  ∴ ∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD。
                  ∴ ∠ODA=∠CAD。
                  ∴ OD//AC。 ∴ ∠ODB=∠C=90 ^。
                 ∴ BC是⊙O的切线。

图1

（2）解法一：如图2，过D作DE⊥AB于E ∴ ∠AED=∠C=90^。
                又∵ AD=AD，∠EAD=∠CAD
                   ∴ △AED≌△ACD.
                    ∴ AE=AC, DE=DC=3。
                  在Rt△BED中，∠BED =90^。,由勾股定理，
                  得

                  设AC=x（x>0）, 则AE=x。
                 在Rt△ABC中，∠C=90^。, BC=BD+DC=8，AB=x+4,
               由勾股定理，得 x²+8²= (x+4) ²。
                解得x=6。即 AC=6。

图2

          解法二：如图3，延长AC到E，使得AE=AB。
            ∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD
              ∴ △AED≌△ABD.
             ∴ ED=BD=5。
             在Rt△DCE中，∠DCE=90^。, 由勾股定理，得
              CE=

             在Rt△ABC中，∠ACB=90^。, BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得
             AC² +BC²= AB ²。
              即 AC² +8²=(AC+4) ²。解得 AC=6。

图3

阅读下面的问题，并解答题（1）和题（2）。

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