题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知正方形ABCD的边长为1，直线l₁∥直线l₂，l₁与l₂之间的距离为1，l₁、l₂与正方形ABCD的边总有交点。
（1）如图（1），当l₁⊥AC于点A，l₂⊥AC交边DC、BC分别于E、F时，求△EFC的周长；
（2）把图（1）中的l₁与l₂同时向右平移x个单位，得到图（2），问△EFC与△AMN的周长的和是否随x的变化而变化，若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由；
（3）把图（2）中的正方形绕点O逆时针旋转α，得到图（3），问△EFC与△AMN的周长的和是否随α的变化而变化，若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由。

答案

解：（1）如图（1），∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=，
又∵直线l₁∥直线l₂，l₁与l₂之间的距离为1，
∴CG=-1，
∴EF=2-2，EC=CF=2-，
∴△EFC的周长为EF+EC+CF=2；（2）△EFC与△AMN的周长的和不随x的变化而变化，如图（2），
把l₁、l₂向左平移相同的距离，使得l₁过A点，
即l₁平移到l₄，l₂平移到l₃，过E、F分别作l₃的垂线，垂足为R，G
可证△AHM≌△ERP，△AHN≌△FGQ
∴AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长，
由已知可计算△CPQ的周长为2
∴△EFC与△AMN的周长的和为2；（3）△EFC与△AMN的周长的和不随α变化而变化，
如图（3），把l₁、l₂平移相同的距离，使得l₁过A点，即l₁平移到l₄，l₂平移到l₃，过E、F分别作l₃的垂线，垂足为R，S，
过A作l₁的垂线，垂足为H，可证△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP
∴AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=PR
∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长，如图（4），
过A作l₃的垂线，垂足为T连接AP、AQ可证△APT≌△APD，△AQT≌△AQB，
∴DP=PT，BQ=TQ
∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2
∴△EFC与△AMN的周长的和为2