题目
题型:河北省模拟题难度:来源:
答案
核心考点
举一反三
定义:如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上,那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形。
结论:在探讨过程中,有三位同学得出如下结果:
甲同学:在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形。
乙同学:在直角三角形中,两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大。
丙同学:在不等边锐角三角形中,两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小。
任务:(1)填充甲同学结论中的数据;
(2)乙同学的结果正确吗?若不正确,请举出一个反例并通过计算给予说明,若正确,请给出证明;
(3)请你结合(2)的判定,推测丙同学的结论是否正确,并证明。
(如图,设锐角△ABC的三条边分别为a,b,c,不妨设a>b>c,三条边上的对应高分别为ha,hb,hc,内接正方形的边长分别为xa,xb,xc,若你对本小题证明有困难,可直接用“”这个结论,但在证明正确的情况下扣1分)。
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为S1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为S2(如图2),则S2=_____;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为S3,继续操作下去…,则第10次剪取时,S10=_____;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和。
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