题目
题型:江西省中考真题难度:来源:
定义:如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上,那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形。
结论:在探讨过程中,有三位同学得出如下结果:
甲同学:在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、________个大小不同的内接正方形。
乙同学:在直角三角形中,两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大。
丙同学:在不等边锐角三角形中,两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小。
任务:(1)填充甲同学结论中的数据;
(2)乙同学的结果正确吗?若不正确,请举出一个反例并通过计算给予说明,若正确,请给出证明;
(3)请你结合(2)的判定,推测丙同学的结论是否正确,并证明。
(如图,设锐角△ABC的三条边分别为a,b,c,不妨设a>b>c,三条边上的对应高分别为ha,hb,hc,内接正方形的边长分别为xa,xb,xc,若你对本小题证明有困难,可直接用“”这个结论,但在证明正确的情况下扣1分)。
答案
例如:在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=BC=1,则 AC=,
如图①,四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形,
设它的边长为a,则依题意可得:,
∴a=,
如图②,四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形,
设它的边长为b,则依题意可得:,
∴b=,
∴a>b;
设△ABC的三条边分别为a,b,c,不妨设a>b>c,三条边上的对应高分别为ha,hb,hc,内接正方形的边长分别为xa,xb,xc,
依题意可得:
∴,同理
∵
=
=
=
又∵b<a,ha<b,
∴(b-a)<0,
∴xa<xb,即xa2<xb2,
∴在不等边锐角三角形中,两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小。
核心考点
试题【某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨: 定义:如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上,那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接】;主要考察你对正方形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为S1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为S2(如图2),则S2=_____;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为S3,继续操作下去…,则第10次剪取时,S10=_____;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和。
如图,在边长为a的正方形ABCD内以A为顶点作等边三角形,使它的另外两个顶点E、F分别位于BC和CD上,则这个等边三角形AEF的边长为
B.acos75°
C.
D.
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