题目

题型：黑龙江省期末题难度：来源：

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，边MN与边AB交于F，边AD与边QM交于E．
（1）在图1中求证：AE+AF=AM；
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠QMN=∠CBA=60°，其他条件不变，则在图2中线段AE，AF与AM的关系为_________；
（3）在（2）的条件下，若菱形MNPQ在绕着点M运动的过程中，点E，F分别在边AD，AB所在直线上时，已知菱形ABCD的边长为4，AE=1，求△AFM的面积．

答案

解：（1）∵正方形ABCD和正方形QMNP，M为正方形ABCD的中心，
∴∠MDA=∠BAM=45°，MD=MA，∠AMD=∠QMN=90°，
∴∠AMD﹣∠AME=∠QMN﹣∠AME，
即∠DME=∠FMA，
在△DME和△FMA中，，
∴△DME△FMA（ASA），
∴DE=AF，
∴AE+AF=AE+ED=AD，
在Rt△AMD中，sin∠MDA=sin45°==，
即AD=AM，则AE+AF=AM；
（2）在图2中线段AE，AF与AM的关系为：AE+AF=AM，
理由为：取AD的中点K，连接MK，
∵M为菱形的中心，即M为DB中点，
∴KM为三角形ABD的中位线，
∴KM=AB，
∵菱形ABCD，M为菱形的中心，
∴AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，
又∵∠CBA=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠BAM=∠MAP=∠BAD=60°，∠ABM=∠ABC=30°，
∴∠AMB=90°，即三角形ABM为直角三角形，
∴AM=AB，
∴KM=AM，
又∠MAP=60°，
∴△AKM为等边三角形，
∴KM=AM=AK，∠MKA=∠KME=60°，
∴∠MKE=∠MAF=60°，
∴∠KME+∠EMA=60°，∠EMA+∠AMF=60°，
∴∠KME=∠AMF，
在△KME和△AMF中，，
∴△KME△AMF（ASA），
∴KE=AF，
则AM=AK=AE+KE=AE+AF．
故答案为：AM=AE+AF；
（3）∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB=BC，
又∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC=4，
又M为AC中点，
∴AM=AC=2，又AE=1，
由（2）得出的结论AM=AE+AF，可得AF=1，
在△AME和△AMF中，，
∴△AME△AMF（SAS），
∴△AME与△AMF的面积相等，
过M作MH⊥AD，连接AM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AM⊥BD，
在Rt△ADM中，AD=4，AM=2，
根据勾股定理得：DM=2，
在Rt△DMH中，∠MDH=30°，
∴MH=DM=，
∴S_△AME=S_△AMF=AE·MH=．
图1









图2









图3