题目

题型：黑龙江省期末题难度：来源：

图1是两个正方形纸片ABCD和CEFG叠放在一起，分别以BC边所在直线和BC边的中垂线为坐标轴建立如图所示的坐标系，其中B（﹣2，0），E（2，），C（2，0），固定正方形ABCD，直线L经过AC两点；将正方形CEFG绕点C顺时针旋转135°得到正方形CE₁F₁G₁．
（1）在图2中求点E₁的坐标，并直接写出点E₁与直线L的位置关系．
（2）利用（1）的结论，将图2中的正方形CE₁F₁G₁在射线CA上沿着CA方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形CE₁F₁G₁设为正方形PQRH（图3），当点R移动到点A停止，设正方形PQRH移动的时间为t秒，正方形PQRH与正方形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数解析式，并写出函数自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，如果S=1时，过BP的直线为m，M点为直线m上的动点，N为直线L上的动点，那么是否存在平行四边形MNBC，如果存在，请求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由．

答案

解：（1）由E点坐标可知正方形CEFG边长为，
那么其对角线CF长度为2，
正方形CEFG绕点C顺时针旋转135° 后，
CE与x轴夹角为45°，
C坐标为（2，0），
那么E₁坐标为（3，﹣1），E₁在直线L上；
（2）当0≤t≤时，S=t²；
当<t≤2时，S=﹣t²+2t﹣2；
当2<t≤3时，S=2；
当3<t≤4时 S=﹣t²+3t﹣7；
当4<t≤5时，S=t²﹣5t+25；
（3）S=1时，当t≤时，t²=1，解得：t=；
当<t≤2时，2﹣（2﹣t）²=1，解得：t=或3（舍去）；
当2<t≤4时，（4﹣t）²=1，解得：t=3或5（5不合题意，舍去）．
则t=或3．
①当t=时，那么P位于CD中点处，P的坐标是：（2，2），
设直线m的解析式是y=kx+b，
则，解得：，
则直线m表达式y=x+1，直线L表达式y=﹣x+2，
设MN的纵坐标是a，
则在y=x+1中，令y=a，解得：x=2（a﹣1），
则M的横坐标是2（a﹣1）；
在y=﹣x+2中，令y=a，则x=2﹣a，
即N的横坐标是：（2﹣a）．
∵BC=4，
则：2（a﹣1）﹣（2﹣a）=4，解得：a=，
把y=代入y=x+1中，解得：x=．
则M的坐标为；
②当t=3时，P是AD与y轴的交点，则P的坐标是：（0，4）．
设直线m的解析式是y=kx+b，
则，解得：，
则m的解析式是：y=2x+4．
同①方法相同，设MN的纵坐标是a，
则在y=2x+4中，令y=a，解得：x=（a﹣4），
则M的横坐标是（a﹣1）；
在y=﹣x+2中，令y=a，则x=2﹣a，
即N的横坐标是：（2﹣a）．
根据BC=4，则：（a﹣4）﹣（2﹣a）=4，
解得：a=，把y=代入y=2x+4中，解得x=．
则M的坐标是：（，）．
故M的坐标是：（，）或（，）．