题目

题型：中考真题难度：来源：

感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG ≌△BAF ；（不要求证明） 拓展：如图②，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1 、∠2 分别是△ABE 、△CAF 的外角，已知AB=AC ，∠1= ∠2= ∠BAC ，求证：△ABE ≌△CAF ．
应用：如图③，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ．点D 在边BC 上，CD=2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1= ∠2= ∠BAC，若△ABC 的面积为9 ，则△ABE 与△CDF 的面积之和为______。

答案

拓展：
证明：∵∠1= ∠2 ，
∴∠BEA= ∠AFC ，
∵∠1= ∠ABE+ ∠3 ，∠3+ ∠4= ∠BAC ，∠1= ∠BAC ，
∴∠BAC= ∠ABE+ ∠3 ，
∴∠4= ∠ABE，
∴，
∴△ABE≌△CAF（AAS）；
应用：
∵在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，CD=2BD ，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1 ：2，
∴△ABD与△ADC 面积比为：1 ：2，
∵△ABC的面积为9，
∴△ABD 与△ADC 面积分别为：3，6；
∵∠1= ∠2，
∴∠BEA= ∠AFC，
∵∠1=∠ABE+ ∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1= ∠BAC，
∴∠BAC=∠ABE+∠3，
∴∠4=∠ABE，
∴，
∴△ABE ≌△CAF（AAS ），
∴△ABE 与△CAF 面积相等，
∴△ABE 与△CDF 的面积之和为△ADC 的面积，
∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，
故答案为：6。