题目

题型：北京市期末题难度：来源：

设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°，AP⊥EF于点P。
（1）求证：AP=AB；
（2）若AB=5，求△ECF的周长。

答案

解：（1）延长CB到F′，使BF′=DF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF′=180°﹣∠ABC=90°=∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′=AF，∠1=∠2，
∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°﹣∠EAF=45°=∠EAF，
又∵EA=EA，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′=EF，S_△AEF"=S_△ABF，
而EF·AB=EF·AP，
∴AB=AP；
（2）C_△CEF=EC+CF+EF=EC+CF+EF′
=EC+BE+CF+BF′
=BC+CF+DF
=BC+CD=2AB
=10。