题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒。

（1）P点的坐标为（______，_______）（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由。

答案

解：（1）由题意可知，，
∴P点坐标为。
（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4-x
NC边上的高为，其中
∴
∴S的最大值为，此时。（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=x
∴3x=4
∴。
②若，则

∴。
③若，则
∵
∵在中，
∴
∴
综上所述，或。