题目

题型：徐汇区二模难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，点E对角线是BD上一点，作∠CEF=∠CBD，过点C作CF⊥CE交EF于F，连接DF．求证：
（1）

CE

CB

=

CF

CD

；
（2）BD⊥DF．

答案

证明：（1）∵过点C作CF⊥CE交EF于F，
∴∠ECF=90°，
∵∠CEF=∠CBD，∠BCD=90°，
∴△BCD∽△ECF，
∴

CE

CB

=

CF

CD

，

（2）设EF和CD的交点为O，
∵△BCD∽△ECF，
∴∠BDC=∠EFC，
∵∠DOE=∠COF，
∴△DOE∽△COF，
∴

OE

OC

=

OD

OF

，
∴

OE

OD

=

OC

OF

，
∵∠DOF=∠EOC，
∴△ECO∽△DOF，
∴∠CFO=∠CDF，
∴∠EDC+∠CDF=∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDF=90°，
∴BD⊥DF．