题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

答案

（1）证明：∵AE⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∵CN⊥AD，
∴∠CNA=90°．
又∵BC∥AD，
∴∠BCN=90°．
∴AE∥CF，
又由平行得∠ADE=∠CBD，
又AD=BC，
∴△ADE≌△BCF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：当AECF为菱形时，连结AC交BF于点O，
则AC与EF互相垂直平分，
又BO=OD，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴△ABM≌△CAM，
∴AB=AC，△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，∠CBD=30°．
在Rt△BCF中， CF：BC=tan∠CBF=，
又AE=CF，AB=BC，
∴AB：AE=．