题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，矩形ABCD，AB = 4，∠ACB = 30°．点E从点C出发，沿折线CA—AD以每秒一个单位长度的速度运动，过点E作EF∥CD交BC于点F，同时过点E作EG⊥AC交直线BC于点G，设运动的时间为t，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，当点E运动到点D时停止运动．

（1）当点B与点G重合时，求此时t的值；
（2）直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量取值范围；
（3）当t = 4时，将△EFG绕点E顺时针旋转一个角度（），∠GEF的两边分别交矩形的边于点M，点N．当△MEN为等腰三角形时，求此时△MEN的面积．

答案

（1）6或；（2）；
（3）或．

解析

试题分析：（1）分当点B与点G第一次重合时，当点B与点G第二次重合时，两种情况结合图形特征求解；
（2）分，，，，根据相似三角形的性质与三角形、梯形的面积公式求解即可；
（3）分①当旋转角为30°时，②当旋转角为75°时，这两种情况，分别画出图形，根据勾股定理及三角形的面积公式求解即可.
（1）当点B与点G第一次重合时，t=6
当点B与点G第二次重合时，t=；
（2）由题意得；
（3）①当旋转角为30°时，


∴；
②当旋转角为75°时，
作EH⊥AB于H，MG⊥AE于G

，AH=2
设
则，又∵ GE=EH=
∴
∴
解得：
∴

综上所述，△MNE的面积为或．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．