题目

题型：云南省期末题难度：来源：

阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE
求证：AB=CD
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等。因此，要证明AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。现给出如下三种添加辅助线的方法，请对原题进行证明。
（1）延长DE到F使得EF=DE；
（2） 作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F ；
（3） 过C点作CF∥AB，交DE的延长线于F 

答案

（1）证明：延长DE到F使得EF=DE，连接BF 
                   在△DEC和△FEB中 
                  
                   ∴△DEC≌△FEB 
                    ∴∠D=∠F DC=FB 
                   ∵∠BAE=∠D 
                  ∴∠BAE=∠F 
                  ∴BA=BF
                   ∴AB=CD
（2）证明：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F，交DE的延长线于F 
                   ∵CG⊥DE BF⊥DE 
                   ∴∠CGE=∠BFE=90° 
                   在△CGE和△BFE中 
                 
                    ∴△CGE≌△BFE 
                  ∴BF=CG 
                 在△ABF和△DCG中
                
                 ∴△ABF≌△DCG
                ∴AB=CD 
（3）证明：过C点作CF∥AB交DE的延长线于F
                  ∵CF∥AB
                  ∴∠BAE=∠F ∠B=∠FCE 
                    在△ABE和△FCE中 
                    
                      ∴△ABE≌△FCE
                      ∴AB=FC
                      ∵∠BAE=∠D 而∠BAE=∠F
                       ∴∠D =∠F
                      ∴CF=CD
                     ∴AB=CD