题目

题型：江苏期末题难度：来源：

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm.点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向终点D运动(P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止).设P、Q同时出发并运动了t秒.
（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。

答案

（1）过D做DE⊥AB于E，过C做CF⊥AB于F，
则四边形是矩形. 所以DE=CF. 又AD=BC
所以Rt△ADE≌Rt△BCF．
所以AE=BF
又CD=2cm，AB=8cm，所以EF=CD=2cm，
AE=BF=×（8-2）=3cm．
如果四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形所以CQ=t，
所以DQ=EP=2-t
所以AP=AE+EP，
因为2t=3+2-t
所以t=；
（2）在Rt△ADE中，


点Q在AD上，即2＜t≤4
则CQ=t，BP=8-2t

解得t=3（舍去）
∴不存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半.