题目

题型：北京模拟题难度：来源：

在△ABC中，∠ACB=45°，点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
（1）如果AB=AC，如图（1），且点D在线段BC上运动，试判断线段CF与BD 之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果AB≠AC，如图（2），且点D在线段BC上运动，（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，设BC=3，CD=x，求线段CP的长。（用含x的式子表示）

答案

解：（1）CF与BD位置关系是垂直，
证明如下：如图（1）
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°，
由正方形ADEF得AD=AF，
 ∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ACF=∠ABD
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；

（2）CF⊥BD，（1）中的结论成立，
理由：如图（2），
过点A作AC⊥AC交BC于点G
∴AC=AG，仿（1）可证：
△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGD=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BO； （3）过点A作AQ上BC交CB的延长线于点Q ①如图（3）点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45°，
可求出AQ=CQ=4，
∴DQ =4-x，
易证△AQD∽△DCP，
∴
∴
 ②如图（4），点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45°，
可求出AQ=CQ=4，
∴DQ=4+x，
过A作AG⊥AC交CB延长线于点G，
则△AGD≌△ACF，
∴∠AGD=∠ACF，
∵∠AGD+∠ACG=90°，
∴∠ACF+∠ACG=90°，
∴CF⊥ BD，
∴△AQD∽△DCP，