题目

题型：北京月考题难度：来源：

图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，请你利用该图形构造一个以BD所在直线为对称轴且与△ABD全等的三角形。
（1）如图2，在△ABC中，∠A=100°，∠C=50°，BD是∠ABC的角平分线，请你判断并写出AB、AD、BC之间的数量关系________________；
（2）如图3，在△ABC中，∠C=40°，而（1）中的其他条件不变，请你判断AD、BD、BC之间的数量关系并证明。

答案

解：（1）BC=AB+AD；
（2）BC=BD+AD；
证明：在BC上截取BE=AB，连结DE，
在BC上截取BF=BD，连结DF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
在△ABD和△EBD中，
AB=BE，∠ABD=∠CBD，BD=BD
∴△ABE≌△DBE，
∴AD=DE，
∠DEB=∠A=100°，
∴∠DEC=80°，
∵∠A=100°，∠C=40°，
∴∠ABC=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=20°，
∵BD=DF，
∴∠BFD=80°，
∠DEC=∠BFD=80°，
∴DE=DF，
∵∠DFB=80°，∠C=40°，
∴∠CDF=40°，
∴DF=CF，
∴AD=CF，
∴BC=BF+CF=BD+AD。