题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分别为点M，N，试探究线段D₁M与线段D₂N的数量关系，并加以证明。
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K₁H₁，K₂H₂，分别交直线AB于点H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁，作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分别为点M，N，D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由。
②如图3，若将①中的”，其他条件不变.D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

答案

解：（1）D₁M=D₂N.
证明：∵∠ACD₁=90°，
∴∠ACH+∠D₁CK=90°
∵∠AHK=∠ACD₁=90°
∴∠ACH+∠HAC=90°
∴∠D₁CK=∠HAC
∵AC=CD₁，
∴△ACH≌△CD₁M
∴D₁M=CH.
同理可证D₂N=CH
∴D₁M=D₂N.
（2）①证明：D₁M=D₂N成立
过点C作CG⊥AB，垂足为点G.
∵∠H₁AC+∠ACH₁+∠AH₁C=180°，
∠D₁CM+∠ACH₁+∠ACD₁=180°，
∠AH₁C=∠ACD₁，
∴∠H₁AC=∠D₁CM.
∵AC=CD₁，∠AGC=∠CMD₁=90°，
∴△ACG≌△CD₁M.
同理可证CG=D₂N.
∴D₁M=D₂N.
②作图
D₁M=D₂N还成立.