题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图1，以△ABC的边AB，AC为腰向外作等腰三角形ABE和ACD，且AB=AE，AC=AD，M为BC边的中点，MA的延长线交DE于N
（1）当∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°时，线段AM线段DE的关系是（    ）。
（2）如图2，当∠BAC≠90°时，探究线段AM与线段DE的关系。
（3）如图3，当∠BAC≠90°时，∠BAE=岚，∠CAD=（180﹣а）°，则线段DE与AM的大小关系怎样？其夹角∠DNM是多少？请给出证明．

答案

解：（1）DE=2AM且AM⊥DE。
理由如下：
∵AB=AE，∠BAC=∠BAE=∠CAD=90°，AC=AD，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED，∠ABM=∠AEN，
∵M为BC边的中点，
∴BC=2AM，
∴DE=2AM；
∴AM=BM=CM，
∴∠ABM=∠BAM，
∴∠BAM=∠AEN，
∵∠BAM+∠EAN=90°，
∴∠AEN+∠EAN=90°，
∴∠ANE=90°，
∴AM⊥DE；
即DE=2AM，AM⊥DE；
（2）DE=2AM且AM⊥ED。理由如下：
延长AM到K，使MK=AM，连BK，则ABKC是平行四边形，
∴AC=BK，∠ABK+∠BAC=180°，
∵∠DAC=∠EAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABK=∠DAE，
又∵BK=AD，AB=AE，
∴△ABK≌△EAD（SAS），
∴AK=DE，∠BAK=∠AED
∴DE=2AM，
∠AED+∠EAN=∠BAK+∠EAN=90°，
∴AM⊥DE，
即DE=2AM且AM⊥ED；
（3）DE=2AM，∠DNM=（180﹣а）°。理由如下：
延长AM到P，使MP=MA，连接BP
又∵BM=CM，∠BMP=∠CMA，
∴△BMP≌△CMA（SAS），
∴BP=AC=AD；∠BPM=∠CAM；
且∠PBM=∠ACM，
∴BP⊥AC，∠ABP+∠BAC=180°，
又∵∠BAE+∠CAD=а°+（180﹣а）°=180°，
∴∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABP=∠DAE，
又∵BP=AD，AB=AE，
∴△ABP≌△EAD（SAS），
∴PA=DE，∠BPA=∠ADE=∠CAM，
∴DE=2AM，
∠DNM=180度﹣（∠ADE+∠DAN）=180度﹣（∠CAM+∠DAN）=∠DAC=（180﹣а）°
即E=2AM，∠DNM=（180﹣а）°。
故答案为：DE=2AM且AM⊥DE。