在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：期末题难度：来源：

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．

答案

解：（1）BF=CG；
证明：在△ABF和△ACG中
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC
∴△ABF≌△ACG（AAS）
∴BF=CG；
（2）DE+DF=CG；
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG
∴四边形EDHG为矩形
∴DE=HG，DH∥BG
∴∠GBC=∠HDC
∵AB=AC
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC
∴△FDC≌△HCD（AAS）
∴DF=CH·GH+CH=DE+DF=CG，
即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG
∴四边形EDHG为矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS）
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，
DE+DF=CG．